Väitös: Keskiarvokentän stokastisten differentiaaliyhtälöiden analyysiä (Nykänen)
Epäsäännölliset kerroinfunktiot vaikuttavat yhtälön ratkeavuuteen
Jani Nykäsen matematiikan alan väitöskirjassa tutkittiin keskiarvokentän stokastisia differentiaaliyhtälöitä, joiden satunnaisliikkeen voimakkuuden määräävä kerroinfunktio on epäjatkuva jakaumamuuttujan suhteen.
- Kun jokin ratkaistavan prosessin jakaumasta riippuva suure saavuttaa kriittisen kynnysarvon, satunnaisvärähtelyn magnitudi muuttuu välittömästi. Tämän voi tulkita siten, että kun hiukkasten tiheys viitepisteen ympäristössä laskee riittävän matalalle, niin hiukkasten värähtely heikkenee esimerkiksi aineen muuttaessa olomuotoaan, toteaa yliopistonopettaja Jani Nykänen Jyväskylän yliopistosta.
Nykänen keskittyi väitöskirjassaan erityisesti ratkaisuprosessin olemassaoloa ja yksikäsitteisyyttä koskeviin kysymyksiin.
- Riittävän säännölliset kerroinfunktiot takaavat yksikäsitteisen ratkaisun olemassaolon, mutta epäjatkuvuuden seurauksena ratkaisuja voi olla useita tai äärimmäisessä tapauksessa ei yhtäkään, kertoo Nykänen.
Väitöskirja tarjoaa esimerkkejä edellä kuvatuista ilmiöistä ja esittelee riittävät ehdot yksikäsitteisen ratkaisun olemassaoloon.
Satunnaiskävely apuna simuloinnissa
Väitöstyön toinen osa siirtää näkökulman takaperoisiin eli päätearvollisiin keskiarvokentän stokastisiin differentiaaliyhtälöihin. Näitä yhtälöitä esiintyy luonnostaan monien stokastisten optimointiongelmien yhteydessä, ja yksi tärkeä sovelluskohde löytyykin rahoitusteorian parista.
Satunnaiskohinaa mallintavaa Brownin liikettä voidaan approksimoida yksinkertaisella, symmetrisellä satunnaiskävelyllä, mikä tarjoaa toteutukseltaan suoraviivaisen, mutta silti tehokkaan menetelmän takaperoisten yhtälöiden simuloinnille.
- Keskeisenä tavoitteena on osoittaa menetelmän suppenemisnopeus, mutta väitöskirjassa esitellään lisäksi algoritmin toteutuksen periaatteet, sanoo Nykänen.
FM Jani Nykäsen väitöskirjan “Analysis of mean-field SDEs and BSDEs: irregular coefficients and approximation” tarkastustilaisuus perjantaina 6.6.2025 klo 12:00 bio- ja ympäristötieteiden laitoksen salissa YAA303. Vastaväittäjänä toimii professori Gunther Leobacher (University of Graz)) ja kustoksena professori Stefan Geiss (Jyväskylän yliopisto). Väitöstilaisuuden kieli on englanti.
Väitöskirja “Analysis of mean-field SDEs and BSDEs: irregular coefficients and approximation” on luettavissa JYX-julkaisuarkistossa:
