Susanna Heikkilä havainnollistaa neulomalla, mistä matematiikan pulmissa on kyse
Matematiikan yksi osa-alue on topologia. Topologiassa kyse on avaruudellisten muotojen ja pintojen tutkimisesta sekä erimuotoisten matemaattisten kappaleiden suhtautumisesta toisiinsa. Tarkemmin sanottuna matemaatikko Susanna Heikkilän alaa kutsutaan kvasikonformigeometriaksi, ja se on geometrisen analyysin osa-alue.
Heikkilä tekee Jyväskylän yliopistossa perustutkimusta, jolla on yhteyksiä esimerkiksi inversio-ongelmiin, joka hyödyntää osittaisdifferentiaaliyhtälöiden, harmonisen analyysin ja geometrian menetelmiä. Inversio-ongelmilla on monia käytännönläheisiä sovelluksia esimerkiksi lääketieteellisessä kuvantamisessa (röntgenkuvaus ja ultraäänikuvaus) ja maaperän tutkimuksessa.
Pintojen mallinnusta neuleiden avulla
Heikkilä mietti väitöstilaisuuden lektio-osuuteen, kuinka voisi sukulaisilleen mallintaa väitöstutkimuksensa käsitteitä ja yhteyksiä mahdollisimman konkreettisesti ja yleistajuisesti.
”Harrastan neulomista ja huomasin, että neulottua tasoa voi taivutella ja venyttää. Keksin, että neuleiden avulla pystyn helposti mallintamaan pintojen muotoja ja siirtymään tasaiselta pinnalta pallomaiselle pinnalle.”
Heikkilällä on työpöydällään tasomainen neuletilkku. Lisäksi hänellä on pallo, johon on maapallon lailla merkattu päiväntasaaja. Hän laittaa tasomaisen neuletilkun pallon päälle ja kiinnittää tilkun nurkat päiväntasaajan kohdalle. Pian huomataan, että tilkkujen ja pallon väliin jää aukkoja.
”Kun venytän neuletilkkua, aukot pallosta peittyvät. Tämä venytys kuvaa kvasikonformigeometriaa ja tutkimustani kaikessa yksinkertaisuudessaan”, selventää Heikkilä.
40 vuotta avoinna olleen ongelman ratkaisija
Väitöstyössään Heikkilä ratkaisi matemaattisen ongelman, joka oli vaivannut alan asiantuntijoita yli 40 vuotta. Ongelma käsitteli kvasisäännöllisiä kuvauksia ja kuinka neliulotteiset muodot voidaan esittää neliulotteisen euklidisen avaruuden geometrian avulla.
”Neliuloitteinen maailma ei matematiikoille ole sen kummempaa kuin kolmiulotteisessa maailmassa eläminen”, sanoo Heikkilä.
Kvasisäännölliset kuvaukset ovat kuvauksia avaruuksien välillä, jotka muuttavat kulmia ja muotoja rajoitetun määrän. Näillä kuvauksilla on kulkusuunta ja ne antavat tavan kulkea yhdestä avaruudesta toiseen.
Vuonna 1981 venäläis-ranskalainen matemaatikko Misha Gromov pohti, onko kvasisäännöllisen kuvauksen olemassaololle estettä, joka ei liity maalipuolen perusryhmän mittaamiin aukkoihin.
”Maalipuoli viittaa avaruuteen, johon saavutaan. Avaruuden perusryhmä mittaa aukkoja, joiden ympärille molemmista päistä pidelty naru jää jumiin. Esimerkiksi (äärettömän korkean) valotolpan ympäri kierrettyä naru on jumissa, ellei narun pitelijä irrota otettaan jommastakummasta päästä, selventää Heikkilä.
Lisäksi Gromov vielä kysyi, että jos kuvauksen maalipuoli on yhdesti yhtenäinen, onko kuvauksen olemassaolo taattu. Vastaus oli avoinna noin 38 vuotta. Vasta vuonna 2019 matemaatikko Eden Prywes pystyi tarjoamaan kysymykseen neliulotteisen vastaesimerkin ja lopullisen ratkaisun selviäminen oli hieman lähempänä.
”Väitöskirjani täydentää Gromovin kysymyksen vastausta, koska sen avulla voidaan luokitella neljäulotteiset yhdesti yhtenäiset kappaleet, joille on kvasisäännöllinen kuvaus euklidisesta avaruudesta”, kertoo Heikkilä.
Kyseinen ratkaisu on matematiikan perustutkimusta ja voi hyödyttää tulevaisuudessa muita matemaatikoita saavuttamaan uusia tutkimustuloksia. Väitöskirjatyön artikkeli hyväksyttiin julkaistavaksi arvostetussa . Heikkilä oli paininut kyseisen ongelman parissa jo pro gradu –tutkielmasta asti.
”Tuntui tosi upealta ratkaista ongelma, jonka kanssa olin viettänyt aikaa usean vuoden ajan. Vaikken saavuttaisi enää mitään muuta urallani, olen sentään jo näin nuorena saanut aikaiseksi jotain merkittävää. Toisaalta näin suuri urotyö akateemisessa maailmassa, tuo hieman lisäpaineita tutkimuksen jatkolle”, naurahtaa Heikkilä.
Topologia innosti jatkamaan matematiikan parissa
Vielä lukiossa ollessaan Heikkilä ei tiennyt, mitä haluaisi opiskella lukion jälkeen. Matematiikassa hän teki paljon laskuvirheitä, vaikka muuten oli siinä hyvä. Hän päätyi hakemaan kauppakorkeakouluun, mutta pääsykokeisiin lukiessaan huomasi, ettei kyseinen ala ollut hänen juttunsa. Lukion opettajan kannustamana hän haki varavaihtoehtona opiskelemaan matematiikkaa.
Pian hän huomasi, että yliopistomatematiikka on täysin erilaista kuin lukiomatematiikka ja se sopi Heikkilälle paljon paremmin.
”Olin kuitenkin epävarma opiskelualasta vielä ensimmäisen vuoden opintojen aikana."
Toisen vuoden opintojen aikana suoritin topologian kurssiin, mikä vakuutti minut jatkamaan matematiikan parissa. Kun löysi itselleen kiinnostavan aiheen sekä oikeat opiskelumetodit, oli helppoa jatkaa opintoja”, muistelee Heikkilä.
Konformiset ja kvasikonformiset kartat apuna kasvojen tunnistuksessa
Susanna Heikkilä väitteli Helsingin yliopistossa vuonna 2024. Tammikuussa 2025 hän aloitti tutkijatohtorina Jyväskylän yliopistossa professori Kai Rajalan tutkimusryhmässä. Rajala oli myös toinen Heikkilän väitöskirjan esitarkastaja.
Rajala ja Heikkilä tutkivat Suomen Akatemian rahoittamassa hankkeessa kvasikonformista analyysia. Tutkimuksen tarkoituksena on soveltaa moderneja matemaattisen analyysin menetelmiä epäsileiden ja fraktaalisten avaruuksien muotojen tutkimiseen.
”Abstraktit tutkimuskohteemme liittyvät läheisesti ajankohtaisiin ja konkreettisiin ongelmiin kuten kasvojentunnistukseen. Etsimme konformisia ja kvasikonformisia koordinaatteja, eli karttoja, jotka vääristävät pienten kappaleiden muotoja mahdollisimman vähän”, kertoo professori Kai Rajala Jyväskylän yliopistosta.
Tutkimuskohteina ovat niin klassiset, yli sata vuonna avoinna olleet kuvausongelmat, kuin myös karttakuvausteorian modernit sovellukset kuten abstraktien algebrallisten rakenteiden ja dynaamisten systeemien luokittelu.
Kynät, liidut ja tussit kuuluvat matemaatikon työvarusteisiin
Nykypäivänä voisi kuvitella, että liitu- ja valkotaulut ovat mennyttä aikaa. Ajatustyössä ja erilaisten ideoiden jakamisessa taulut ovat kuitenkin edelleen korvaamattomia. Kaiken kirjoitetun näkee yhdellä silmäyksellä ja erilaisia tauluja käytetään kollegoiden kanssa ideoiden pallottelussa. Myös Heikkilä tekee kaiken työn ensin kynällä ja paperilla.
”Teen tutkimusta tietokoneella aika vähän. Työpäiväni kuluu lukemalla muiden tutkijoiden julkaisuja ja suttupaperin äärellä pohdin matemaattisia ratkaisuja. Liitu- ja tussitaulun äärellä pohditaan kollegoiden kanssa ongelmia yhdessä”, kertoo Heikkilä.
Jyväskylän yliopistossa matematiikan ja tilastotieteen laitoksella järjestetään viikoittain paljon tutkimusseminaareja, joita Heikkilä käy kuuntelemassa. Seminaarit tarjoavat uutta tutkimustietoa, mikä avartaa ajattelua ja käsityksiä. Laitoksen tiivis ja yhteisöllinen ilmapiiri on tehnyt häneen vaikutuksen.
”Olen viihtynyt Jyväskylässä ja päässyt hyvin sisälle matematiikan ja tilastotieteen laitokselle. Muilta tutkijoilta olen saanut apua ja heidän kanssaan on ollut mukavaa vaihtaa ajatuksia. Odotan innolla tulevaa ja mitä se tuo tullessaan”, sanoo Heikkilä.
