Ģ��ֱ��

Suuren mittakaavan geometrialla, väitöskirjan keskeisellä aiheella, on yhteys fysiikasta ja filosofiastakin tuttuun "kopernikaaniseen periaatteeseen". Tämä periaate on nimetty Nikolaus Kopernikuksen mukaan, joka 1500-luvun alussa oivalsi, ettei maapallo olekaan maailmankaikkeuden keskipiste, jonka ympäri kaikki liike tapahtuu. Tähtitieteen edistyessä on ymmärretty yhä selvemmin, ettei maapallo ole maailmankaikkeudessa mitenkään erityinen paikka. Tarkemmin esittäen on kopernikaaninen periaate nykyisin laajentunut tarkoittamaan, että avaruus on kaikkialla samanlaista.

Täsmällisesti ottaen avaruus ei kuitenkaan ole kaikkialla samanlaista. Oma Aurinkomme, kuten kaikki tähdet ja pienemmätkin taivankappaleet, kaareuttaa avaruutta ja yleisesti ottaen tätä kaarevuutta esiintyy avaruudessa sitä vähemmän mitä etäämpänä tähdistä ollaan. Kuitenkin nykykosmologia on osoittanut, että kopernikaaninen periaate toimii erinomaisesti suuressa mittakaavassa eli jätettäessä "pienet paikalliset ilmiöt", kuten tähtijärjestelmät tai galaksit, huomiotta.

Avaruus on suuressa mittakaavassa kuin laaja nurmikenttä, jossa kylläkin voi esiintyä pieniä epätasaisuuksia läheltä tarkasti tutkien, mutta joka kauempaa stadionin penkiltä katsoen näyttää kaikkialla samanlaiselta. Avaruutemme suuren mittakaavan geometria on siis homogeeninen, kaikkialta samanlainen.

Erilaisia avaruuksia

Tavallisesti avaruus tarkoittaa kaikkialle ulottuvaa tilaa, jossa kappaleet liikkuvat ja jonka rakenteen nykyinen tuntemus pohjaa Albert Einsteinin suhteellisuusteoriaan. Matematiikassa avaruuksia on kuitenkin valtavan monia erilaisia. Mitä tahansa idealisoitua tilaa, jossa mallinnetaan geometrisia ilmiöitä, voidaan kutsua avaruudeksi. Avaruuden ulottuvuus voi olla mikä luku hyvänsä, sen kaarevuusominaisuudet voivat olla mitkä hyvänsä, ja siihen voi sisältyä erikoisempiakin  ominaisuuksia kuten liikkuvuusrajoitteita.

Liikkuvuusrajoitteisia avaruuksia voidaan havainnollistaa tarkastelemalla parkkipaikalla ajelevaa autoa. Sovitaan, että auton asemoinnilla tarkoitetaan tietoa siitä, missä päin parkkipaikkaa auto on ja mihin suuntaan sen keula osoittaa. Auton asemoinnin määrittää siis kolme lukua: kaksi paikkakoordinaattia auton keskipisteelle sekä kulmakoordinaatti keulan suunnalle.
Auton asemointien avaruus on siten 3-ulotteinen mutta asemointien avaruudessa on liikkumisrajoitteita, sillä auto ei voi liikkua suoraan sivuttain tai pyöriä paikallaan. Autoa sopivalla tavalla ajaen on silti mahdollista saavuttaa mikä tahansa asemointi parkkipaikalla, kuten käytännössä onkin helppo todeta.

 Tällaisten liikkuvuusrajoitteita sisältävien avaruuksien käsittely vaatii yleisempiä geometrisia työkaluja kuin mitä perinteisesti geometrian piirissä on tunnettu, ja eräät väitöskirjan tuloksista yleistävätkin "tavallisissa" kaareutuneissa avaruuksissa (nk. Riemannin monistoilla) tunnettuja tuloksia tällaisiin yleisempiin tilanteisiin.

Homogeenisten avaruuksien listaaminen

 Väitöskirjassa tutkitaan erityisesti millaisia (suuren mittakaavan geometrialtaan) homogeenisia avaruuksia voi matemaattisesti ottaen olla olemassa. Tämä tarkoittaa sen selvittämistä, mitkä näistä avaruuksista ovat loogisesti mahdollisia ja ristiriidattomia, ottamatta kantaa siihen, esiintyvätkö ne välttämättä fysikaalisessa todellisuudessa tai sen mallintamisessa. Tärkeä homogeenisten avaruuksien luokka muodostuu Lien ryhmistä, jotka norjalainen matemaatikko Sophus Lie esitteli 1800-luvun lopussa.

Eräs tämän väitöskirjan tuloksista osoittaa, että homogeenisia avaruuksia voidaan (tietyin edellytyksin) mallintaa Lien ryhmillä. Muut väitöskirjan tulokset keskittyvät kysymykseen, missä tilanteissa kaksi eri Lien ryhmää voi mallintaa samaa homogeenista avaruutta. Jos rajoitutaan tarkastelemaan vain esimerkiksi 4-ulotteisia avaruuksia, voidaan nämä homogeeniset malliavaruudet suoraan listata. Väitöskirja esittääkin (tietynlaisiin Lien ryhmiin rajoittuen) tällaiset listat ulottuvuuksissa 4 ja 5. Vastaavat listat on aiemmin tunnettu vain ulottuvuuksissa 1, 2 ja 3.

Tutkimus on julkaistu Jyväskylän yliopiston väitöstutkimusten JYU Dissertations -sarjassa, numero 376, Jyväskylä, 2021. ISBN 978-951-39-8629-2 (PDF), URN:ISBN:978-951-39-8629-2, ISSN 2489-9003
Linkki tutkimukseen: 

FM Ville Kiviojan matematiikan väitöskirjan ”On metric relations between Lie groups” tarkastustilaisuus on 14.5.2021 kello 14 alkaen Jyväskylän yliopistossa. Vastaväittäjänä on professori Xiangdong Xie (Bowling Green State University, USA) ja kustoksena yliopistonlehtori Katrin Fässler (Jyväskylän yliopisto). Väitöstilaisuuden kieli on englanti.

Yleisö voi seurata väitöstilaisuutta verkkovälitteisesti.
Linkki Zoom-webinaariin (suositellaan Zoom-sovellusta tai Google Chrome selainta): 

Puhelinnumero, johon yleisö voi tilaisuuden lopussa osoittaa mahdolliset lisäkysymyksensä (kustokselle): +358 50 4673382