21.8.2020 On the equivalence of viscosity and weak solutions to normalized and parabolic equations

Osittaisdifferentiaaliyhtälöllä tarkoitetaan yhtälöä, jossa esiintyy tuntemattoman, useasta parametrista riippuvan funktion derivaattoja. Osittaisdifferentiaaliyhtälön klassinen ratkaisu on riittävän sileä funktio, jonka derivaatat toteuttavat kyseisen yhtälön pisteittäin jossakin alueessa. Osittaisdifferentiaaliyhtälöillä on lukuisia sovelluksia mm. fysiikassa ja insinööritieteissä. Klassinen esimerkki on lämpöyhtälö, joka nimensä mukaan mallintaa lämmön jakautumista kappaleessa ajan suhteen.
Julkaistu
21.8.2020

Viime vuosikymmenen loppupuolella eräillä normalisoiduilla yhtälöillä havaittiin olevan mielenkiintoinen yhteys peliteoriaan. Tietynlaisten matemaattisen köydenvetopelien arvofunktiot nimittäin suppenevat kohti normalisoitujen yhtälöiden ratkaisuja, kun pelissä käytettävä askelpituus lähestyy nollaa. Ratkaisu on tässä ymmärrettävä niin sanotussa viskositeettimielessä, sillä klassista ratkaisua kyseisiin yhtälöihin ei aina ole olemassa. Toisinaan ratkaisu voidaan periaatteessa ymmärtää myös niin kutsutussa heikossa mielessä. Lähtökohtaisesti viskositeettiratkaisut ja heikot ratkaisut kuitenkin määritellään varsin eri tavalla, eikä niiden yhteys ole etukäteen selvää.

Jarkko Siltakosken väitöskirjan päätuloksena on, että sopivin ehdoin eräiden normalisoitujen yhtälöiden viskositeettiratkaisut ja heikot ratkaisut ovat ekvivalentteja keskenään. Tämän seurauksena väitöskirjassa johdetaan yksikäsitteisyys- ja säännöllisyystuloksia viskositeettiratkaisuille. Lisäksi väitöskirjassa osoitetaan ratkaisujen ekvivalenssi eräälle ajasta riippuvalle yhtälölle, joka on lämpöyhtälön yleistys.

Väitöskirja on julkaistu verkkojulkaisusarjassa JYU Dissertations numerona 260, Jyväskylä 2020, ISSN 2489-9003 Julkaisu on luettavissa JYX-julkaisuarkistossa osoitteessa: (PDF)

Jarkko Siltakoski kirjoitti ylioppilaaksi Orimattilan Erkko-Lukiosta vuonna 2009. Filosofian maisteriksi (matematiikka) hän valmistui Jyväskylän yliopistosta vuonna 2016.

³¢¾±²õä³Ù¾±±ð³Ù´ÇÂá²¹: 
Jarkko Siltakoski, jarkko.j.m.siltakoski@student.jyu.fi, puh. 044 338 8385

FM Jarkko Siltakosken matematiikan väitöskirjan "On the equivalence of viscosity and weak solutions to normalized and parabolic equations" tarkastustilaisuus on 21. elokuuta 2020 kello 12:00 alkaen.  Vastaväittäjänä on apulaisprofessori Erik Lindgren Uppsalan yliopistosta Ruotsista ja kustoksena yliopistonlehtori Mikko Parviainen Jyväskylän yliopistosta. Väitöstilaisuuden kieli on englanti.

Yleisö voi seurata väitöstilaisuutta verkkovälitteisesti.
Linkki Zoom-webinaariin (suositellaan Zoom-sovellusta tai Google Chrome selainta):